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关于椭圆的一些生活常识,有哪些方法可以得到椭圆?

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圆锥曲线有数有形,在高中数学所有章节知识中的学习欢迎度应属靠前。但也因为几何本身的博大精深,这个在亚历山大前期由玩几何的高手——阿波罗尼奥斯创建的数学分支,带给了2000多年后面对圆锥曲线学习时的压力山大。

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接下来“圆规正传”,回答问题。高中圆锥曲线中有关椭圆的基本知识点、常用结论,以及一些解题思路与方法,小结如下:

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一、基本知识点

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1、椭圆的两个定义:满足“①到两定点距离之和为常数”或“②到一定点的距离与到一定直线的距离之比e为常数(0<e<1)”的点的轨迹。

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2、椭圆的标准方程:考虑焦点在x轴(即长轴在x轴)与y轴(即短轴在y轴)的两种情形。

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3、椭圆的几何性质:

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①图象

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②对称中心(原点)与对称轴(x轴或y轴)

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③顶点(a或b)

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④焦点(c)

⑤范围(x与y的取值范围)

⑥焦距(|F1F2|=2c)

⑦长轴(2a)与短轴(2b)

⑧离心率(e=c/a)

⑨准线方程(区分焦点在x轴或y轴)

⑩焦准距

4、点与椭圆的位置关系:

①点在椭圆内(<1)

②点在椭圆上(=1)

③点在椭圆外(>1)

5、直线与椭圆的位置关系:

①相离(∆<0,即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程无解)

②相切(∆=0,即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程有相同解)

③相交(∆>0,即直线与椭圆联立消一元后的一元二次方程有两个不同解)

二、常用结论

这里给出了30条结论及其简要的解析过程,供参考,详见图片。

三、一些方法

1、求解椭圆标准方程的一般方法:

①利用定义和几何性质直接求出a、b、c;

②待定系数法:设出椭圆标准方程、或一般方程形式、或椭圆系方程形式,依据已知条件建立关于a、b、c或m、n等关于系数的方程组,解方程组得出系数。

注:应明确焦点在x轴还是y轴。

2、求解椭圆离心率的一般方法:

①利用定义和几何性质直接求出a、c,代入离心率公式得解;

②转化齐次式:依据已知条件构造a、c一元或二元齐次方程,方程两边同时除以a或a方,转化为关于e或e方的一元一次或二次方程,进而得解e值(对于求解e的取值范围同样适用)

③已知焦点三角形的含焦两个内角值,利用正弦定理求解。

3、求解与椭圆有关的取值范围或最值问题应考虑的源不等关系(作为已知条件使用):

①长短轴:a>b

②离心率:0<e<1(a>c)

③椭圆上任一点横纵坐标范围:-a<=x<=a,-b<=y<=b(焦点在x轴)

④椭圆上任一点到焦点距离范围:a-c<=|PF|<=a c

⑤点在椭圆内/外:对于标准方程而言,若点在椭圆内,则"="要改为“<”;若点在椭圆外,则"="要改为“>”

⑥直线与椭圆相交:若题干明确给出直线与椭圆相交(两个交点),则联立直线与椭圆方程消一元后得到的一元二次方程满足∆>0

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